振动传感器是协助工业设备诊断故障，提供预测性防护的关键器件。不过你可能不知道，影响提取高质量CbM振动数据的，还有振动传感器的外壳。因为用于封装MEMS加速度计的外壳，需要具备比集成式MEMS更出色的频率响应才行。对此，ADI利用模态分析，通过理论和ANSYS模态仿真示例，可以出色解决振动传感器外壳设计难题，进而为获得更多有效振动数据提供可靠保障。
什么是模态分析，为什么它如此重要？
模态分析，是研究机械设备结构振动特性的基本方法，是设计出优质机械外壳的必要条件。一般来说，MEMS振动传感器的封装采用钢材或铝材外壳，能够牢固连接在受监测资产上，并提供防水和防尘性能(IP67)。而良好的金属外壳设计，是确保从资产中测量出高质量振动数据的重要因素。
使用模态分析时，最主要的问题是要避免谐振，此时结构设计的固有频率与施加的振动负载的固有频率非常接近。对于振动传感器，外壳的固有频率必须大于由MEMS传感器测量的所施加振动负载的固有频率。通过模态分析，可以提供设计的固有频率和正常模式（相对变形）。
ADXL1002 MEMS加速度计的频率响应图如图1所示。ADXL1002 3dB带宽为11kHz，提供21kHz谐振频率。用于封装ADXL1002的保护外壳需要具有21kHz或更高的首级固有频率。
图1.ADXL1002 MEMS加速度计的频率响应
振动传感器外壳模型
在模态分析和设计中，可以将振动传感器看做一个粗短的悬臂梁圆柱。此外，将使用Timoshenko振动方程进行仿真，后文将详细展开。一个粗短的悬臂圆柱就类似于安装在工业设备上的振动传感器，如图2所示。振动传感器通过螺栓固定在工业设备上。螺栓安装和外壳设计都需要仔细表征，以免机械谐振影响相关的MEMS振动频率。采用ANSYS或类似程序的有限元方法(FEM)可以用作求解粗短圆柱的振动方程的高效方法。
图2.振动传感器外壳建模
仿真工具
在模态分析中，ANSYS和其他仿真工具假定设计中每个点的谐波运动。设计中所有点的位移和加速度被求解为特征值和特征向量，在本例中，分别是固有频率和振型。
? 固有频率和振型
方程1为质量矩阵M、刚度矩阵K、角频率ωi和振型的关系式，用于FEM程序中，例如ANSYS。1ωi除以2π，可以计算得出固有频率fi，振型提供在特定固有频率下，材料的相对变形模式。
对于单自由度系统，频率可以简单表示为：
方程2提供了一种简单、直观的设计评估方法。如果降低传感器外壳的高度，刚度增大，质量减小，因此，固有频率提高。此外，如果增加外壳的高度，刚度减小，质量增大，固有频率随之降低。
大多数设计都具有多个自由度。有些设计具有数百自由度。利用FEM，可以快速得出方程1的计算结果，如果是手动计算，则非常耗费时间。
? 模式参与因子
模式参与因子(MPF)用于确定哪些模式和固有频率对于您的设计最为重要。方程3是振型、质量矩阵M和激励方向矢量D的关系式，用于求解MPF。参与因子的平方即是有效质量。
MPF和有效质量测量每种模式下在每个方向移动的质量数。一个方向上的值较高意味着在该方向上，模式将被力（例如振动）刺激。
将MPF与固有频率结合使用，可以帮助设计人员发现潜在的设计问题。例如，模态分析得出的最低固有频率可能不是最大的设计问题，因为相对于所有其他模式，相关的方向（x、y或z轴面）上的参与因子可能不够大。
表1所示的示例显示，在仿真中预测到x轴的固有频率为500Hz时，模式为弱模式，不可能成为问题。在外壳x轴处于800Hz强模式时，如果MEMS敏感轴的方向和外壳x轴的方向一致，则将成为问题。但是，如果设计人员将MEMS传感器PCB的方向定位在外壳的z轴上测量，那么这个x轴的800Hz强模式可能无关紧要。
? 解析模态分析结果
上面了解到可以使用模态分析来计算得出相关轴的固有频率。实际上，设计人员可以利用MPF来确定在设计中是否可以忽略某个频率。为了完成模态分析解析，需要了解结构上的所有点都按会相同频率（全局变量）振动，但每个点的振动幅度（或振型）是不同的。例如，18kHz频率对机械外壳顶部的影响比底部大。振型（局部变量）在外壳顶部的振幅比底部要强，如图3所示。这意味着，虽然外壳结构的顶部位置受到18kHz频率的强刺激，位于外壳底部的MEMS传感器也会受到该频率影响，只是受影响的程度更低。
图3.振动传感器外壳的固有频率、相关轴上的振型，以及外壳顶部和底部的相对振幅
Timoshenko差分振动方程
Timoshenko方程适用于粗短梁或受到几千赫振动影响的梁的建模。图2所示的振动传感器类似于一个粗短的圆柱截面，可以使用Timoshenko方程进行建模。该方程是一个四阶差分方程，具有针对限制情形的分析解。如方程1到方程3所示，FEM提供了求解使用多维矩阵的Timoshenko方程的简便方法，这些矩阵会随设计自由度数缩放。
? 控制方程
虽然FEM在高效求解Timoshenko振动方程方面颇具优势，但要了解在设计振动传感器外壳时面临的取舍，则需要更深入地研究方程的42个参数。
使用不同的材料或几何外形都会影响设计结构的固有频率(ω)。
? 材料和几何形状相关性
Timoshenko方程的参数可以分为几何形状相关性或材料相关性。
材料相关性包括：
? 杨氏模量(E)：这是一种材料弹性测量方法，也即是使其变形所需的拉力。变形拉力与表面呈直角。
? 剪切模量(G)：这是一种材料剪切刚度测量方法，也即是物体承受与表面平行施加的剪切变形应力的能力。
? 材料密度(ρ)：每单位体积的质量。
几何形状相关性包括：
? 剪切系数(k)：剪切是一种材料特性，而剪切系数是指剪切应力在横截面上的变化。矩形截面一般为5/6，圆形截面一般为9/10。
? 面积惯性矩(I)：面积的几何特性，反映几何形状是如何围绕轴进行分布的。这一特性有助于了解结构对外加弯曲力矩的抵抗能力。在模态分析中，这可以看作是抗变形能力。
? 横截面积(A)：所定义的形状（例如圆柱）的横截面积。
Timoshenko方程预测方程5给出的临界频率fC。因为方程4为4阶方程，所以在fC下，有4个独立的解。为了进行分析，可以使用方程5的fC来比较不同的外壳几何形状和材料。
可以使用多种方法和解决方案来确定fC下的所有频率。“由单差分方程描述的Timoshenko梁的自由振动和强迫振动”和“使用分布式集总建模技术的驱动轴的弯曲振动”中提及了一些方法。这些方法用到多维矩阵，例如FEM。
外壳设计应该使用什么材料？
表2详细列出了一些常用的工业金属材料的信息，例如不锈钢和铝。
在列出的4种材料中，铜的重量最重，且与不锈钢相比，它并不具备任何优势，因不锈钢更轻、更强韧，价格也更低。
虽然钛比铝重三分之二，但它本身的强度意味着所需的量更少。但是，除了需要减重的专业应用，钛的成本太高。
表2.常用工业材料的杨氏模量(E)、剪切模量(G)、密度(ρ)和每千克成本
仿真示例
图4所示的矩形金属振动传感器外壳设计高40mm，长43mm，宽37mm。为了进行模态分析，底面(z,x)为固定约束条件。
图4.矩形外壳，通过改变材料类型以进行仿真研究
图5.矩形外壳，包含材料类型和首级有效固有频率(Hz)
图5显示各种外壳材料的FEM模态分析结果。图中显示首级固有频率、有效MPF（系统的有效质量与总质量之比大于0.1）与材料类型的关系。很显然，铝和不锈钢具有最高的首级有效固有频率。对于低成本或低重量应用，它们也是不错的材料选择。
应该设计矩形外壳还是圆柱形外壳？
图6显示空心矩形和圆柱形不锈钢挤压件，壁厚2mm，高40mm。圆柱形的外径为43mm，矩形模型的x和y轴的尺寸也均为43mm。
图6.相似的矩形和圆柱形，用于模型设计研究
图7.相似的矩形和圆柱形的首级有效固有频率(Hz)
在模态分析中，整个2mm壁厚（或者x、y横截面积）为固定约束条件。图7显示FEM模态分析结果。图中显示首级固有频率、有效MPF（系统的有效质量与总质量之比大于0.1）与材料形状的关系。圆柱形在x和y轴上具有最高的首级有效固有频率，在z方向上具有相似性能。
几何形状—面积和惯性
材料和几何形状相关性均包含在方程4中。由于矩形和圆柱形模型的仿真都采用不锈钢参数，所以圆柱形性能更优的唯一原因在于其几何形状。图8显示用于计算模型的面积惯性矩和横截面积的圆柱形和矩形横截面。
图8.面积惯性矩(IYY)和横截面积
矩形的面积惯性矩IYY几乎比圆柱形大50%，如表3所示。矩形的抗变形能力更强。但是，圆柱形的横截面积A是矩形的三倍。A参数的值越大，意味着在仿真和现实中，固定的约束条件越大，所以圆柱形设计有助于提高硬度或刚度。
使用表3中的值和方程5，可以得出圆柱形的临界频率为60.74 kHz，矩形为26.56 kHz。方程5是显示不同几何形状的相对性能的一个有用工具。方程4和5可预测临界频率下的4个独立解。表4总结了FEM结果，并确认4个首级有效模式。
表3.圆柱形和矩形模型的面积惯性矩(IYY)、剪切模量(G)、密度(ρ)和横截面积(A)
传感器的最大推荐高度是多少？
方程4和5很有用，但它们无法对外壳垂直高度和可用的首级有效固有频率之间的取舍提供分析指导。从方程2中可以直观看到，传感器外壳越高，首级固有频率越低。
分析模型的局限性
方程4和5假定梁的截面宽度至少是梁的长度的15%。其他用于细长梁的方法（例如Bernoulli方程）假定梁的截面宽度低于梁的长度的1%。对于细长梁，可以使用方程6，其中包含长度(L)或传感器高度。方程6不考虑剪切力，但它们对于粗短梁很重要。对于首级有效固有频率，在用于实心圆柱形时，方程4、5和6总体上保持一致性。对于空心形状，方程6会将首级有效固有频率低估50%。
表5.与Bernoulli方程相比空心和实心圆柱形的首级有效模式
方程6使用的参数包括杨氏模量(E)的刚度、直径(d)、长度（或高度）、使用的材料密度(ρ)，以及给定配置的Kn常数。
由于分析模型无法提供有关空心外壳的高度约束的指导，所以一般借助FEM来进行高度研究。
高度研究
为了针对外壳高度的增加引起性能降低的问题提供指导，ADI对图9所示的模型进行了仿真。
图9.采用5mm底座的外壳高度研究
该不锈钢挤压件采用一个5mm底座，可用于安装外壳和受监控设备（例如电机）之间的螺钉。将圆柱的高度从40mm增加到100mm，导致x轴和y轴的首级有效固有频率从12.5kHz降低至3.3kHz，如图10所示。z轴的值也从31.2kHz降低至12.7kHz。要实现高性能传感器，很显然需要尽可能降低外壳高度。
图10.采用5mm底座、高度增加的外壳的首级有效固有频率(Hz)
降低外壳壁厚或直径会有什么影响？
降低外壳壁厚
表6显示了如果将图6所示的圆柱形的壁厚从2mm降低至1mm，但保留40mm高度和43mm外径，其几何形状和材料性质会如何。
表6.高度为40mm、壁厚分别为1mm和2mm的圆柱形的面积惯性矩(IYY)、剪切模量(G)、密度(ρ)和横截面积(A)
使用表6中的值和方程5，可以得出壁厚2mm的圆柱形的临界频率为60.74kHz，壁厚1mm为61.48kHz。IYY和A参数都降低约50%的情况下，对于壁厚为1mm的圆柱形，方程5的分子和分母受到同等的影响。基于该计算，假定在FEM模态分析中，两个圆柱形的表现将类似。
图11中显示首级固有频率、有效MPF（系统的有效质量与总质量之比大于0.1）与圆柱形壁厚的关系。与固有频率相比，降低圆柱形壁厚带来的影响非常微小。
图11.壁厚为1mm或2mm的圆柱形的首级有效固有频率(Hz)
降低外壳直径
目前给出的所有示例都以外径为43mm的圆柱形外壳为主。有些设计可能只需要30mm或26mm外径。图12显示仿真模型，图13显示改变外壳外径带来的影响。
将圆柱形外径从43mm降低至26mm时，x和y轴的首级固有频率降低约1.5kHz，z轴的首级固有频率增大1.9kHz。在改变圆柱形外径时，面积惯性矩(IYY)和横截面积(A)都会降低。IYY参数的下降幅度高于A参数。
图12.外壳直径研究
将直径从43mm降低到30mm时，IYY降低2/3，A参数降低1/3。还是参考方程5，最终影响是首级固有频率逐渐降低。直观来看，降低圆柱形直径会降低结构硬度，所以固有频率也会降低。但是，通过仿真，很明显可以看出首级固有频率的降幅并不大，改变直径之后，首级固有频率仍然保持在几十kHz。
图13.首级有效固有频率与圆柱形外径的关系
改变传感器外壳的方向可以提高性能吗？
假设有一个场景，需要在一个规定了高60mm，长和宽43mm × 37mm的外壳中封装一个传感器和电路。如果使用矩形外壳，通过改变固定约束条件（设备连接）的方向可以帮助提高性能。图14所示的矩形外壳包含多个连接孔，所以外壳可以从多个方向安装至设备。如果外壳安装在x、z平面，那么外壳的有效高度为60mm。但是，如果外壳安装在y、z平面，那么有效高度仅为37mm。此方式适用于矩形外壳，但不适用于圆柱形曲面。
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